Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a? A.\(R = \frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\) B.\(R = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\) C.\(R = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{3\sqrt 2 }}\) D.\(R = \frac{{2a\sqrt 2 }}{7}\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi M là trung điểm của SB, trong (SBD) qua M kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SO tại I, ta có \(IS = IB\). Lại có \(I \in SO \Rightarrow IA = IB = IC = ID \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS\). Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. Dễ dàng nhận thấy \(\Delta SMI \sim \Delta SOB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SO}} \Leftrightarrow SI = \frac{{SB.SM}}{{SO}} = \frac{{SB.\frac{{SB}}{2}}}{{\sqrt {S{B^2} - O{B^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {14} a}}{7}\) Chọn A.