Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a. A. \(\dfrac{{2\pi {a^2}}}{3}\). B. \(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\). C. \(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\). D. \(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{3}\).
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Xét tứ diện đều ABCD có cạnh đều bằng a. Gọi G là tâm tam giác ABC, I, J lần lượt là trung điểm của CD, BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DG \bot \left( {ABC} \right)\\CG = \dfrac{2}{3}CK = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\) Dựng mặt trung trực của CD, cắt DG tại O. Khi đó, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. * Tính R: Tam giác DGC vuông tại G \( \Rightarrow DG = \sqrt {D{C^2} - G{C^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\)
\(\Delta DOI\) đồng dạng \(\Delta DCG \Rightarrow \dfrac{{OD}}{{DC}} = \dfrac{{DI}}{{DG}} \Rightarrow \dfrac{{OD}}{a} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}} \Rightarrow OD = \dfrac{{3a}}{{2\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\) * Tính diện tích mặt cầu: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{3}{2}\pi {a^2}\) Chọn: B