Đáp án:
Ta có tính chất \(|A|=|-A|\)
\(\Rightarrow A=|x+2015|+|1-x|\)
Áp dụng bất đẳng thức:\(|A|+|B| \ge |A+B|\) ta có:
\(A \ge |x+2015+1-x|=|2016|=2016\)
Dấu "=" xảy ra khi \((x+2015)(1-x) \ge 0\)
\(\Leftrightarrow (x+2015)(x-1) \le 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+2015 \ge 0\\x-1 \le 0\\\end{cases}x+2015 \le 0\\x-1 \ge 0\\\begin{cases}\\\end{cases}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x \ge -2015\\x \le 1\\\end{cases}\\\begin{cases}x \ge 1\\x \le -2015\\\end{cases}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}-2015 \le x \le 1\\1 \le x \le -2015(\text{vô lý})\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A=2016 \Leftrightarrow -2015 \le x \le 1\).
Giải thích các bước giải:
Ta có bất đẳng thức:\(|A|+|B| \ge |A+B|\) và tính chất \(|A|=|-A|\).
\(*CM:|A|+|B| \ge |A+B|\)
Rất đơn giản ta bình phương hai vế:
\(bpt\Leftrightarrow (|A|+|B|)^2 \ge (|A+B|)^2\)
\(\Leftrightarrow |A|^2+|B|^2|+2|AB| \ge (A+B)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2+B^2+2|AB| \ge A^2+2AB+B^2\)
\(\Leftrightarrow 2|AB| \ge 2AB\)
\(\Leftrightarrow |AB| \ge AB\) luôn đúng.
Dấu "=" xảy ra khi \(AB \ge 0\).
Chắc em cũng đã học tính chất \(xy \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x \ge 0\\y \le 0\\\end{cases}\\\begin{cases}x \le 0\\y \ge 0\\\end{cases}\end{array} \right.\) rồi nhỉ?
