Đáp án:
$AB = \sqrt{2}, M \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{2} \right)$.
Giải thích các bước giải:
Ta có
$AB^2 = (1-2)^2 + (4-3)^2= 2$
$\Leftrightarrow AB = \sqrt{2}$
Gọi $y = ax + b$ là ptrinh đường thẳng đi qua $A(2,3)$ và $B(1,4)$. Vậy ta có hệ
$\begin{cases} 3 = 2a + b,\\ 4 = a + b \end{cases}$
Dễ dàng giải ra đc $a = -1, b = 5$. Vậy
$AB: y = -x + 5$
Gọi $M(u,v)$ là trung điểm của $AB$. Do đó $M$ phải thuộc đường thẳng trên. Vậy
$v = -u + 5$
$\Leftrightarrow u + v = 5$
Mặt khác, do $M$ là trung điểm $AB$ nên ta có
$AM = BM$
$\Leftrightarrow AM^2 = BM^2$
$\Leftrightarrow (u-2)^2 + (v-3)^2 = (u-1)^2 + (v-4)^2$
$\Leftrightarrow -4u + 4 - 6v + 9 = -2u + 1 - 8v + 16$
$\Leftrightarrow 2u -2v = -4$
$\Leftrightarrow u - v = -2$
Vậy ta có hệ
$\begin{cases} u + v = 5,\\ u - v = -2 \end{cases}$
Dễ dàng giải ra đc $u = \dfrac{3}{2}, v = \dfrac{7}{2}$.
Vậy $M \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{2} \right)$.
