Đáp án:
a) $d(O;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt2}{4}$
b) $d(A;(SBD)) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
c) $d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
d) $d(C;(SBD)) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
e) $d(M;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt2}{6}$
Giải thích các bước giải:
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ tâm $O$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
a) Ta có:
$\begin{cases}AB\perp BC\\SA\perp BC\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SAB)$
Trong $mp(SAB)$ kẻ $AH\perp SB$
$\Rightarrow BC\perp AH$
$\Rightarrow AH\perp (SBC)$
$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAB$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \dfrac{a.a}{\sqrt{a^2 + a^2}}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
Ta lại có:
$OC = \dfrac12AC$
$\Rightarrow d(O;(SBC)) = \dfrac12d(A;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt2}{4}$
b) Ta có:
$\begin{cases}SA\perp BD\\AC\perp BD\end{cases}$
$\Rightarrow BD\perp (SAC)$
$\Rightarrow BD\perp (SAO)$
Trong $mp(SAO)$ kẻ $AK\perp SO$
$\Rightarrow BD\perp AK$
$\Rightarrow AK\perp (SBD)$
$\Rightarrow AK = d(A;(SBD))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAO$ vuông tại $A$ đường cao $AK$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AO^2}$
$\Rightarrow AK = \dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2 + AO^2}} = \dfrac{a\cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}}{\sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$
$\Rightarrow AK = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
Vậy $d(A;(SBD)) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
c) Ta có: $AD//BC$
$\Rightarrow AD//(SBC)$
$\Rightarrow d(D;(SBC)) = d(A;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
d) Ta có:
$\quad V_{S.ABD} = V_{S.BCD} = \dfrac12V_{S.ABCD}$
$\Leftrightarrow V_{A.SBD} = V_{C.SBD}$
$\Leftrightarrow \dfrac13S_{SBD}.d(A;(SBD)) = \dfrac13S_{SBD}.d(C;(SBD))$
$\Leftrightarrow d(C;(SBD)) = d(A;(SBD)) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
e) Ta có:
$\dfrac{SM}{SD} = \dfrac13$
$\Rightarrow \dfrac{d(M;(SBC))}{d(D;(SBC))} = \dfrac13$
$\Rightarrow d(M;(SBC)) = \dfrac13d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt2}{6}$
