Đáp án:
2/ `lim_{x->a} (x^n-a^n)/(x-a)`
`=lim_{x->a}((x-a)(x^(n-1)+x^(n-2)a+x^(n-3)a^2+...+xa^(n-2)+a^(n-1)))/(x-a)`
`=lim_{x->a}(x^(n-1)+x^(n-2)a+x^(n-3)a^2+...+xa^(n-2)+a^(n-1))`
`=a^(n-1)+a^(n-2)a+a^(n-3)a+...+aa^(n-2)+a^(n-1)`
`=na^(n-1)`
3/ `lim_{x->a} (x^n-a^n-na^(n-1)(x-a))/(x-a)^2`
`=lim_{x->a}((x-a)(x^(n-1)+x^(n-2)a+x^(n-3)a^2+...+xa^(n-2)+a^(n-1))-na^(n-1)(x-a))/(x-a)^2`
`=lim_{x->a} ((x^(n-1)+x^(n-2)a+x^(n-3)a^2+...+xa^(n-2)+a^(n-1))-na^(n-1))/(x-a)`
`=lim_{x->a}((x^(n-1)-a^(n-1))+a(x^(n-2)-a^(n-2))+a^2(x^(n-3)-a^(n-3))+...+a^(n-2)(x-a)+(a^(n-1)-a^(n-1)))/(x-a)`
`=lim_{x->a} ((x-a)(x^(n-2)+x^(n-3)a+...+a^(n-2))+a(x-a)(x^(n-3)+x^(n-4)a+...+a^(n-3))+...+a^(n-2)(x-a))/(x-a)`
`=lim_{x->a}[(x^(n-2)+x^(n-3)a+...+a^(n-2))+a(x^(n-3)+x^(n-4)a+...+a^(n-3))+...+a^(n-2)]`
`=(a^(n-2)+a^(n-3)a+...+a^(n-2))+(a^(n-2)+a^(n-3)a+..+a^(n-2))+...+a^(n-2)`
`=(n-1)a^(n-2)+(n-2)a^(n-2)+...+a^(n-2)`
`=(n(n-1))/2a^(n-2)`
6/ `lim_{x->1}(n/(1-x^n)-1/(1-x))`
`=lim_{x->1}(n.1-(1+x+x^2+...+x^(n-1)))/((1-x)(1+x+x^2+...+x^(n-1)))`
`=lim_{x->1}[(1-1)/((1-x)(1+x+x^2+...+x^(n-1)))+(1-x)/((1-x)(1+x+x^2+...+x^(n-1)))+(1-x^2)/((1-x)(1+x+x^2+...+x^(n-1)))+...+(1-x^(n-1))/((1-x)(1+x+x^2+...+x^(n-1)))]`
`=lim_{x->1}(1/(1+x+x^2+...+x^(n-1))+(1+x)/(1+x+x^2+...+x^(n-1))+...+(1+x+...+x^(n-2))/(1+x+x^2+...+x^(n-1)))`
`=1/(1+n-1)+2/(1+n-1)+...+(n-1)/(1+n-1)`
`=((n(n-1))/2)/n=(n-1)/2`
Giải thích các bước giải:
Công thức đặc biệt ở đây thì nổi bật nhất là `a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+ab^(n-2)+b^(n-1))`
