$\sqrt[]{31-12\sqrt[]{3}}-\sqrt[]{31+12\sqrt[]{3}}$
$=\sqrt[]{(3\sqrt[]{3})^2-2.3\sqrt[]{3}.2+2^2}-\sqrt[]{(3\sqrt[]{3})^2+2.3\sqrt[]{3}.2+2^2}$
$=\sqrt[]{(3\sqrt[]{3}-2)^2}-\sqrt[]{(3\sqrt[]{3}+2)^2}$
$=|3\sqrt[]{3}-2|-|3\sqrt[]{3}+2|$
$=3\sqrt[]{3}-2-(3\sqrt[]{3}+2)$
$=-4$