Tính thể tích \(V\) của khối tứ diện đều có cạnh bằng \(2a\). A.\(V = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\) B.\(V = 2\sqrt 2 {a^3}\) C.\(V = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}{a^3}\) D.\(V = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}{a^3}\)
Đáp án đúng: C Phương pháp giải: - Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD \Rightarrow SG \bot \left( {BCD} \right)\). - Sử dụng tính chất tam giác đều, tính chất trọng tâm và định lí Pytago tính chiều cao \(SG\). - Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S,\,\,h\) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao khối chóp.Giải chi tiết: Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), ta có \(AG \bot \left( {BCD} \right)\). Vì \(\Delta BCD\) đều cạnh \(2a\) nên diện tích đáy \({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \) và \(BM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABM\) ta có: \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\) Vậy thể tích khối tứ diện là \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.AG.{S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}{a^3}\). Chọn C.