Đáp án:
$D.\ 63$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\quad\begin{cases}y_A = \log_9x_A\\y_B = \log_{12}x_B\\y_C = \log_{15}x_C\end{cases}$
Ta lại có:
$\quad y_A = y_B = y_C =y$
$\Leftrightarrow \log_9x_A = \log_{12}x_B = \log_{15}x_C=y$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_A = 9^y\\x_B = 12^y\\x_C = 15^y\end{cases}$
Mặt khác:
$\quad x_C = x_A + x_B$
$\Leftrightarrow 15^y = 9^y + 12^y$
$\Leftrightarrow 1 = \left(\dfrac35\right)^y + \left(\dfrac45\right)^y\qquad (*)$
Xét $f(y)= \left(\dfrac35\right)^y + \left(\dfrac45\right)^y$
$\Rightarrow f'(y)= \left(\dfrac35\right)^y.\ln\dfrac35+ \left(\dfrac45\right)^y.\ln\dfrac45 < 0$
$\Rightarrow f(y)$ nghịch biến
$\Rightarrow f(y)= 1$ có nghiệm duy nhất
Nhận thấy $y = 2$ là một nghiệm của $(*)$
Do đó $y = 2$ là nghiệm duy nhất của $(*)$
Ta được:
$\quad \begin{cases}y =2\\x_A = 9^2 = 81\\x_B = 12^2 = 144\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}A(81;2)\\B(144;2)\end{cases}$
$\Rightarrow AB = 63$
