a, BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90°$ 

CF ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{CFA}=\widehat{CFB}=90°$ 

Xét tứ giác BFEC có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90°$ 

Hai đỉnh F và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

Xét (O) có:

SB, SC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại S

B, C là hai tiếp điểm

⇒ SB = SC, SO là phân giác $\widehat{BSC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔBSC có: SB = SC (cmt)

⇒ ΔBSC cân tại S

Mà SO là phân giác $\widehat{BSC}$ (cmt)

⇒ SO là trung trực của BC

⇒ SO ⊥ BC, M là trung điểm của BC

⇒ $\widehat{BMS}=90°$ 

Xét ΔEBC vuông tại E ($\widehat{BEC}=90°$) có:

EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (M là trung điểm của BC)

⇒ EM = MB = MC = $\frac{1}{2}$ BC 

Xét (O) có:

$\widehat{SBC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến SB và dây BC)

$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BC}$)

⇒ $\widehat{SBC}=\widehat{BAC}$ Hay $\widehat{SBM}=\widehat{BAE}$

Xét ΔMBS và ΔEAB có:

$\widehat{SBM}=\widehat{BAE}$ (cmt)

$\widehat{BMS}=\widehat{BEA}=90°$ 

⇒ ΔMBS ~ ΔEAB (g.g)

⇒ $\frac{BS}{AB}=\frac{MB}{AE}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ BS.AE = MB.AB

Mà MB = ME (cmt)

⇒ BS.AE = ME.AB

b, Xét ΔMEC có: ME = MC (cmt)

⇒ ΔMEC cân tại M

⇒ $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$

Có $\widehat{MEC}+\widehat{MEA}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{MCE}+\widehat{MEA}=180°$

⇒ $\widehat{MEA}=180°-\widehat{MCE}$ Hay $\widehat{MEA}=180°-\widehat{ACB}$ (1)

Có: $\widehat{ABS}=\widehat{SBC}+\widehat{CBA}$

Mà $\widehat{SBC}=\widehat{BAC}$ (cmt)

⇒ $\widehat{ABS}=\widehat{BAC}+\widehat{CBA}$

Xét ΔABC có: $\widehat{ACB}+\widehat{BAC}+\widehat{CBA}=180°$ (tổng 3 góc trong tam giác)

⇒ $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}=180°-\widehat{ACB}$

⇒ $\widehat{ABS}=180°-\widehat{ACB}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{MEA}=\widehat{ABS}$

BS.AE = ME.AB (cmt) ⇒ $\frac{AE}{AB}=\frac{ME}{BS}$

Xét ΔEAM và ΔBAS có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{ME}{BS}$ (cmt) 

$\widehat{MEA}=\widehat{ABS}$ (cmt)

⇒ ΔEAM ~ ΔBAS (c.g.c)

⇒ $\widehat{MAE}=\widehat{BAS}$

c, Tứ giác BFEC nội tiếp (cmt)

⇒ $\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{FEC}+\widehat{FEA}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{FBC}=\widehat{FEA}$ Hay $\widehat{ABP}=\widehat{AEN}$

Có $\widehat{MAE}=\widehat{BAS}$ (cmt) ⇒ $\widehat{NAE}=\widehat{PAB}$

Xét ΔAPB và ΔANE có: 

$\widehat{PAB}=\widehat{NAE}$ (cmt)

$\widehat{ABP}=\widehat{AEN}$ (cmt)

⇒ ΔAPB ~ ΔANE(g.g)

⇒ $\frac{AB}{AE}=\frac{AP}{AN}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Có ΔBAS ~ ΔEAM (cmt)

⇒ $\frac{AB}{AE}=\frac{AS}{AM}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà $\frac{AB}{AE}=\frac{AP}{AN}$ (cmt)

⇒ $\frac{AS}{AM}=\frac{AP}{AN}$ ⇒ $\frac{AN}{AM}=\frac{AP}{AS}$

Xét ΔASM có: $\frac{AN}{AM}=\frac{AP}{AS}$ (cmt)

⇒ PN // SM (định lí Talet đảo)

Mà SM ⊥ BC (SO ⊥ BC)

⇒ PN ⊥ BC