Đáp án + Giải thích các bước giải:
`B = 3/( sqrt {x} - 1 ) - ( sqrt {x} + 5 )/( x - 1 ) ( Đk : x >= 0 ; x \ne 1 )`
`<=> B = 3/( sqrt {x} - 1 ) - ( sqrt {x} + 5 )/(( sqrt {x} + 1 )( sqrt {x} - 1 ))`
`<=> B = ( 3 ( sqrt {x} + 1 ) - sqrt {x} - 5 )/(( sqrt {x} + 1 )( sqrt {x} - 1 ))`
`<=> B = ( 3 sqrt {x} + 3 - sqrt {x} - 5 )/(( sqrt {x} + 1 )( sqrt {x} - 1 ))`
`<=> B = ( 2 sqrt {x} - 2 )/(( sqrt {x} + 1 )( sqrt {x} - 1 ))`
`<=> B = ( 2 ( sqrt {x} - 1 ) )/(( sqrt {x} + 1 )( sqrt {x} - 1 ))`
`<=> B = 2/( sqrt {x} + 1 )`
`P = 2A . B + sqrt {x}`
`<=> P = 2 . ( sqrt {x} + 1 )/( sqrt {x} + 2 ) . 2/( sqrt {x} + 1 ) + sqrt {x}`
`<=> P = 4/( sqrt {x} + 2 ) + sqrt {x}`
`<=> P = 4/( sqrt {x} + 2 ) + sqrt {x} + 2 - 2`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương , ta có :
`4/( sqrt {x} + 2 ) + sqrt {x} + 2 >= 2 sqrt { 4/( sqrt {x} + 2 ) . ( sqrt {x} + 2 )}`
`<=> 4/( sqrt {x} + 2 ) + sqrt {x} + 2 >= 2 sqrt { 4 }`
`<=> 4/( sqrt {x} + 2 ) + sqrt {x} + 2 >= 4`
`<=> 4/( sqrt {x} + 2 ) + sqrt {x} + 2 - 2 >= 2`
`<=> P >= 2`
Dấu `=` xảy ra khi `4/( sqrt {x} + 2 ) = sqrt {x} + 2`
`<=> ( sqrt {x} + 2 )^2 = 4`
`<=> ( sqrt {x} + 2 )^2 - 4 = 0`
`<=> ( sqrt {x} + 2 + 2 )( sqrt {x} + 2 - 2 ) = 0`
`<=> ( sqrt {x} + 4 ) . sqrt {x} = 0`
`<=> sqrt {x} = 0 ( vì sqrt {x} + 4 > 0 )`
`<=> x = 0 ( tmđk )`
Vậy `GTN N` của `P` là `2` khi `x = 0`