Hình vẽ (Hình dưới)
a, Xét (O), đường kính AB có:
+ I ∈ (O) (gt)⇒ $\widehat{BIA}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ BI⊥AI ⇒ BI⊥AC ⇒ $\widehat{BIC}=90°$ Hay $\widehat{CIH}=90°$
+ Q ∈ (O) (gt)⇒ $\widehat{AQB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AQ⊥QB ⇒ AQ⊥BC ⇒ $\widehat{AQC}=90°$ Hay $\widehat{CQH}=90°$
Có $\widehat{CIH}=90°$ (cmt), $\widehat{CQH}=90°$ (cmt)
⇒$\widehat{CIH}+\widehat{CQH}=90°+90°=180°$
b, Xét (O) có:
$\hat{A_{1}}=\frac{1}{2}sđ\overparen{IQ}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{IQ}$)
$\hat{B_{1}}=\frac{1}{2}sđ\overparen{IQ}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{IQ}$)
⇒ $\hat{A_{1}}=\hat{B_{1}}$
Xét ΔAHI và ΔBCI có:
$\hat{A_{1}}=\hat{B_{1}}$ (cmt)
$\widehat{HIA}=\widehat{BIC}=90°$
⇒ΔAHI~ΔBCI (g.g)
⇒ $\frac{AI}{BI}=\frac{HI}{CI}$ (các cặp cạnh tương ứng)
⇒ AI.CI=BI.HI
