a) Ta có:
$AC,AH$ là tiếp tuyến của $(M)$ tại $C,H$
$\Rightarrow AC = AH$
Lại có: $MC = MH= R'$
$\Rightarrow MA$ là trung trực của $HC$
$\Rightarrow MA$ là phân giác của $\widehat{HAC}$
$\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{CAM}$
Mặt khác:
$OA = OB = OM = R$
$\Rightarrow ∆OAM$ cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{HAM}=\widehat{OMA}$
Do đó:
$\widehat{CAM}=\widehat{OMA}\quad (=\widehat{HAM})$
$\Rightarrow OM//AC$
Chứng minh tương tự, ta được: $OM//BD$
b) Ta có:
$MC\perp AC$ ($AC$ là tiếp tuyến của $(M)$ tại $C$)
$\Rightarrow MC\perp OM\quad (OM//AC)$
Tương tự: $MD\perp OM\quad (OM//BD)$
$\Rightarrow M,D,C$ thẳng hàng
$\Rightarrow OM\perp CD$
$\Rightarrow CD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$
hay $CD$ tiếp xúc $(O)$
c) Ta có:
$MA, MB$ là trung trực của $HC,HB$ (câu a)
$\Rightarrow MC = MH = MD =\dfrac12CD = a$
Ta lại có: $\widehat{AMB}=90^o$ (nhìn đường kính $AB$ của $(O)$)
$\Rightarrow ∆AMB$ vuông tại $M$
$\Rightarrow MH^2 = HA.HB$ (hệ thức lượng)
$\Rightarrow a^2 = AC.BD$
