Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng \(3\), tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất. A.Đáp án khác B.\(R = 4\sqrt 2 \) C.\(R = \sqrt 2 \) D.\(R = 2\sqrt 2 \)
Phương pháp giải: - Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông biểu diễn \(R\) theo \(h\). - Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\). - Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích khối nón Giải chi tiết: Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ và hình chóp này có thể tích lớn nhất. Gọi \(O,\,\,I\) lần lượt là tâm mặt cầu và tâm đường tròn đáy của hình nón, \(IK\) là 1 bán kính đáy của hình nón. Kéo dài \(AI\) cắt mặt cầu tại điểm thứ hai là \(M\,\,\left( {M e A} \right)\). Gọi \(R,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và đường cao của hình nón \(\left( {0 < h < 6} \right)\). Xét tam giác \(AKM\) vuông tại \(K\) có đường cao \(IK\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(I{K^2} = AI.IM \Rightarrow {R^2} = h.\left( {6 - h} \right)\). Khi đó thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{h^2}\left( {6 - h} \right)\). Xét hàm số \(f\left( h \right) = {h^2}\left( {6 - h} \right) = - {h^3} + 6{h^2}\), với \(0 < h < 6\) ta có: \(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + 12h = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\h = 4\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\). BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( h \right) = f\left( 4 \right) = 32\). Vậy \({V_{\max }} = \dfrac{1}{3}\pi .32 = \dfrac{{32\pi }}{3}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow h = 4 \Leftrightarrow R = \sqrt {h\left( {6 - h} \right)} = 2\sqrt 2 \). Chọn D.