Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Mệnh đề \(\forall x \in R,\,\,P\left( x \right)\) đúng khi và chỉ khi thay một giá trị \(x\) bất kì trong tập xác định ta đều thu được mệnh đề đúng, còn mệnh đề sai ta chỉ cần chỉ ra một giá trị của \(x\) trong tập xác định mà làm cho mệnh đề sai.
Mệnh đề \(\exists x \in R,\,\,P\left( x \right)\) đúng khi và chỉ khi ta chỉ ra một giá trị \(x\) nằm trong tập xác định làm cho mệnh đề đúng, còn mệnh đề sai ta cần chứng minh nó sai với mọi giá trị \(x\) nằm trong tập xác định.Giải chi tiết:+) Xét mệnh đề “\(\exists x,\,\,{x^2} + 3 = 0\)”
\({x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 3\)\( \Rightarrow \) Không tồn tại giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^2} + 3 = 0\).
\( \Rightarrow \) “\(\exists x,\,\,{x^2} + 3 = 0\)” là mệnh đề sai.
+) Xét mệnh đề “\(\exists x,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 2 = 0\)”
\({x^4} + 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \dfrac{3}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\\{x^2} + \dfrac{3}{2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1\\{x^2} = - 2\end{array} \right.\) (loại)
\( \Rightarrow \) Không tồn tại giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^4} + 3{x^2} + 2 = 0\).
\( \Rightarrow \) “\(\exists x,\,\,{x^4} + 3{x^2} + 2 = 0\)” là mệnh đề sai.
+) Xét mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{Z},\,\,{x^5} > {x^2}\)”
Với \(x = - 1\) ta có: \({x^5} = {\left( { - 1} \right)^5} = - 1\) và \({x^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\).
\( \Rightarrow {x^5} < {x^2}\)
\( \Rightarrow \) “\(\forall x \in \mathbb{Z},\,\,{x^5} > {x^2}\)” là mệnh đề sai.
+) Xét mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{N},\,\,\left( {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\)”
Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} - 1 = 4x\left( {x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\) với \(\forall x \in \mathbb{N}\).
\( \Rightarrow \) “\(\forall x \in \mathbb{N},\,\,\left( {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\)” là mệnh đề đúng.
Chọn D
