Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) sau đó tìm tọa độ của điểm \(I\)Phân tích \(S = 2N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\) bằng cách đưa về vectơ và chèn điểm \(I\)Chỉ ra \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất trong trường hợp \(N\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)Giải chi tiết:Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow M\left( { - 1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)Ta có \(\begin{array}{l}2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0 \end{array}\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AM\)\( \Rightarrow I\left( {0;\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}} \right)\)\(\begin{array}{l}S = 2N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\\\,\,\,\,\, = 2{\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\, = 4N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\\\,\,\,\,\,\, = 4N{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\end{array}\)Vì \(2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\) không đổi nên \(S\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow \)\(N\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)Đường thẳng \(IN\) đi qua \(I\left( {0;\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4}} \right)\) và có một vecto chỉ phương \(\left( {1; - 1;1} \right)\) nên ta có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = \dfrac{3}{4} - t\\z = \dfrac{5}{4} + t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)Ta có \(N = IN \cap \left( P \right)\) nên tọa độ \(N\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = \dfrac{3}{4} - t\\z = \dfrac{5}{4} + t\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\y = \dfrac{5}{4}\\z = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\)Độ dài \({\rm{ON = }}\dfrac{{\sqrt {38} }}{4}\)Chọn B
