Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Dễ thấy \(M \in \left( \alpha  \right)\).
Gọi \(d'\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(d\). Khi đó ta có: \(\angle \left( {d';\Delta } \right) = \left( {d;\Delta } \right)\).
Đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {0;3; - 2} \right)\), cũng là VTCP của \(d'\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\).
Lấy \(A\left( {3;4; - 1} \right) \in d\) \( \Rightarrow AM\) không đổi.
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( \alpha  \right)\) và \(\Delta \) ta có \(AH \le AK\).
\( \Rightarrow \sin \angle \left( {d';\Delta } \right) = \dfrac{{AK}}{{AM}} \ge \dfrac{{AH}}{{AM}}\).
Khi đó góc giữa \(d\) và \(\alpha \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\sin \angle \left( {d';\Delta } \right)\) nhỏ nhất \( \Rightarrow K \equiv H\).
Khi đó \(\Delta \) đi qua \(M\) và \(H\).
Phương trình đường thẳng \(AH\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\).
Khi đó \(H = AH \cap \left( \alpha  \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + t\\z =  - 1 - t\\x + y - z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + t + 4 + t + 1 + t - 3 = 0\\x = 3 + t\\y = 4 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{5}{3}\\x = \dfrac{4}{3}\\y = \dfrac{7}{3}\\z = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( { - \dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)//\left( {5; - 4;1} \right)\) \( \Rightarrow \Delta \) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {5; - 4;1} \right)\).
Chọn B