Đáp án:

a) \(2x - 5y - 9 = 0\).

    \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 4\).

b) \(2x - 5y - 81 = 0\).

    \({\left( {x + 27} \right)^2} + {\left( {y + 102} \right)^2} = 900\).

Giải thích các bước giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1;-4), bán kính R=2.

a) Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra d’ // d nên phương trình d’ có dạng: 2x – 5y + c = 0

Lấy M(1;1) thuộc d, gọi \(M' = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M} + {x_{\overrightarrow v }} = 1 + 1 = 2\\{y_{M'}} = {y_M} + {y_{\overrightarrow v }} = 1 - 2 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {2; - 1} \right)\).

Do \(M' = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right),\,\,d' = {T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) \Rightarrow M' \in d'\)

\( \Rightarrow 2.2 - 5.\left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 9\).

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: \(2x - 5y - 9 = 0\).

Gọi \(\left( {C'} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( C \right),\,\,I' = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) \Rightarrow \left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm I’, bán kính R’ = R = 2

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} + {x_{\overrightarrow v }} = 1 + 1 = 2\\{y_{I'}} = {y_I} + {y_{\overrightarrow v }} =  - 4 - 2 =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {2; - 6} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 4\).

b) Gọi d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm A tỉ số k = 15

Suy ra d’’ // d nên phương trình d’’ có dạng: 2x – 5y + c’ = 0

Lấy M(1;1) thuộc d, gọi \(M'' = {V_{\left( {A;15} \right)}}\left( M \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM''}  = 15\overrightarrow {AM} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M''}} - 3 = 15.\left( {1 - 3} \right)\\{y_{M''}} - 3 = 15\left( {1 - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M''}} =  - 27\\{y_{M''}} =  - 27\end{array} \right.\\ \Rightarrow M''\left( { - 27; - 27} \right)\end{array}\).

\( \Rightarrow M'' \in d'' \Rightarrow 2.\left( { - 27} \right) - 5.\left( { - 27} \right) + c' = 0 \Leftrightarrow c' =  - 81\).

Vậy phương trình d’’ là \(2x - 5y - 81 = 0\).

Gọi \(\left( {C''} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( C \right),\,\,I'' = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) \Rightarrow \left( {C''} \right)\) là đường tròn tâm I’’, bán kính R’’ =15 R = 30.

\(\begin{array}{l}I'' = {V_{\left( {A;15} \right)}}\left( I \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AI''}  = 15\overrightarrow {AI} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I''}} - 3 = 15\left( {1 - 3} \right)\\{y_{I''}} - 3 = 15\left( { - 4 - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I''}} =  - 27\\{y_{I''}} =  - 102\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow I'\left( { - 27; - 102} \right)\).

Vậy phương trình (C’’) là: \({\left( {x + 27} \right)^2} + {\left( {y + 102} \right)^2} = 900\).