Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Ta có: \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 1 - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
Gọi \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\,\,\,\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\) là hai điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A\) và \(B\) song song với nhau
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} = - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| = \left| {{x_2} - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {x_1} - 1 = 1 - {x_2}\,\,\,\left( {do\,\,{x_1} \ne {x_2}} \right) \Leftrightarrow {x_2} = 2 - {x_1}.\\ \Rightarrow A\left( {{x_1};\,\,\dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}} \right);\,\,B\left( {2 - {x_1};\,\,\dfrac{{3 - {x_1}}}{{1 - {x_1}}}} \right).\\ \Rightarrow AB:\,\,\dfrac{{x - {x_1}}}{{2 - {x_1} - {x_1}}} = \dfrac{{y - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}}}{{\dfrac{{3 - {x_1}}}{{1 - {x_1}}} - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - {x_1}}}{{2 - 2{x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{{y\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {{x_1} + 1} \right)}}{{{x_1} - 1}}}}{{\dfrac{{3 - {x_1} + {x_1} + 1}}{{1 - {x_1}}}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - {x_1}}}{{2\left( {1 - {x_1}} \right)}} = \dfrac{{y\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {{x_1} + 1} \right)}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 2\left( {x - {x_1}} \right) = y{\left( {{x_1} - 1} \right)^2} - \left( {x_1^2 - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}y - 2{x_1} + x_1^2 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}y + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0.\end{array}\)
+) Thay tọa độ điểm \(\left( {1;\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(AB\) ta có:
\(\begin{array}{l}2.1 - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2} + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2 - x_1^2 + 2{x_1} - 1 + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\,\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( {1;\,\,1} \right)\) thuộc đường thẳng \(AB.\)
Chọn A.
