Đáp án:
`S=10` hoặc `S=2`
Giải thích các bước giải:
`(C) x^2+y^2+6x-4y-3=0`
`<=>(x+3)^2+(y-2)^2=4^2`
`=>(C)` có tâm `I(-3;2)`; bán kính `R=4`
`(d)x+y-1=0`
`(∆)ax+by+c=0`
Vì `(∆)`//$(d)$
`=>a/1=b/1\ne c/{-1}`
`=>a=b` và `c\ne -a`
`=>(∆): ax+ay+c=0` `(c\ne -a)`
`=>(∆): x+y+c/a=0`
$\\$
Với $P;Q$ là $2$ giao điểm của $(∆)$ và $(C)$
`=>IP=IQ=R=>∆IPQ` cân tại $I$
Gọi `H` là trung điểm $PQ$ `=>PQ=2PH`
`=>IH` vừa là đường trung tuyến và đường cao của $∆IPQ$
`=>∆IPH` vuông tại $H$
`=>IP^2=PH^2+IH^2` (định lý Pytago)
`=>R^2=PH^2+IH^2\ge 2\sqrt{PH^2.IH^2}` (BĐT Cosi)
`=>16\ge 2PH.IH`
`=>PH.IH\le 8`
`=>1/ 2 . 2PH.IH\le 8`
`=>1/ 2 PQ. IH\le 8`
`=>S_{∆IPQ}\le 8`
Dấu "=" xảy ra khi `PH=IH=\sqrt{8}=2\sqrt{2}`
`=>S_{∆IPQ} max=8` khi `IH=2\sqrt{2}`
`=>d(I;(∆))=2\sqrt{2}`
`<=>|-3+2+c/a|/{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}`
`<=>|-1+c/a|=4`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}-1+\dfrac{c}{a}=4\\-1+\dfrac{c}{a}=-4\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}\dfrac{c}{a}=5\\\dfrac{c}{a}=-3\end{array}\right.$
+) Với `c/a=5`
`=>(∆):x+y+5=0`
`=>S=3a+2b+c=3.1+2.1+5=10`
+) Với `c/a=-3`
`=>(∆): x+y-3=0`
`=>S=3a+2b+c=3.1+2.1+(-3)=2`
Vậy `S=10` hoặc `S=-2`
