Giả sử \(C(a;b;c);\overrightarrow{n_{p}}=(2;1;1)\) là 1 vtcp của (P)
Do \(C\in (P)\Leftrightarrow 2a+b+c+1=0\; (1)\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;1;-1);\overrightarrow{AC}=(a-1;b+1;1+c)\)
\(\Rightarrow [\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]=(c+b+1;1-a-c;b-a+2)\)
\(\Rightarrow mp\; (ABC)\) nhận \(\overrightarrow{n}=(c+b+1;1-a-c;b-a+2)\) là 1 vtpt
Vì \((ABC) \perp (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{p}}=0\Leftrightarrow -2a+3b+c+5=0\; (2)\)
Mà \(S_{ABC}=\frac{1}{2}[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]|\)
\(\Rightarrow \sqrt{(c+b+1)^{2}+(1-a-c)^{2}+(b-a+2)^{2}}=2\sqrt{14}\; (3)\)
Từ (1), (2) ta có \(\left\{\begin{matrix} b=2a-2\\ c=1-4a \end{matrix}\right.\)
Thay vào (3) ta được
\((-2a)^{2}+(3a)^{2}+a^{2}=4.14\Leftrightarrow a^{2}=4\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} a=2\Rightarrow b=2;c=-7\\ a=-2\Rightarrow b=-6;c=9 \end{matrix}\)
Vậy tọa độ điểm C thỏa mãn đề bài là C(2; 2; -7); C(-2; -6; 9)
