Giao điểm của $AN$ và $BM$ chính là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2 = 0\\ 7x + y - 6 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$

Từ đó ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {BG}  = 2\overrightarrow {GM} \\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{ - 1}}{3} = 2\left( {{x_M} - 1} \right)\\ \dfrac{7}{3} = 2\left( {{y_M} + 1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \dfrac{5}{6}\\ {y_M} = \dfrac{1}{6} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{6}} \right)\\ A \in AN \Rightarrow A\left( {a;2 - a} \right)\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 2{x_M} - {x_A} = \dfrac{5}{3} - a\\ {y_C} = 2{y_M} - {y_A} = a - \dfrac{5}{3} \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\dfrac{5}{3} - a;a - \dfrac{5}{3}} \right) \end{array}$

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết ba điểm:

$\begin{array}{l} S = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)\left( {{y_C} - {y_A}} \right) - \left( {{x_C} - {x_A}} \right)\left( {{y_B} - {y_A}} \right)} \right| = 2\\  \Rightarrow \left| {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)\left( {{y_C} - {y_A}} \right) - \left( {{x_C} - {x_A}} \right)\left( {{y_B} - {y_A}} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| {\left( {1 - a} \right)\left( {a - \dfrac{5}{3} - 2 + a} \right) - \left( {\dfrac{5}{3} - a - a} \right)\left( { - 1 - \left( {2 - a} \right)} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| {\left( {1 - a} \right)\left( {2a - \dfrac{{11}}{3}} \right) - \left( {\dfrac{5}{3} - 2a} \right)\left( {a - 3} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| {2a - \dfrac{{11}}{3} - 2{a^2} + \dfrac{{11}}{3}a - \left( {\dfrac{5}{3}a - 5 - 2{a^2} + 6a} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| { - 2a + \dfrac{4}{3}} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  - 2a + \dfrac{4}{3} = 4\\  - 2a + \dfrac{4}{3} =  - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a =  - \dfrac{8}{3}\\ a = \dfrac{8}{3} \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A\left( { - \dfrac{8}{3};\dfrac{{14}}{3}} \right) \Rightarrow C\left( {\dfrac{{13}}{3};3} \right)\\ A = \left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right) \Rightarrow C\left( { - 1;\dfrac{{ - 7}}{3}} \right) \end{array} \right. \end{array}$