Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Lời giải được gửi bởi: diukhue@gmail.com
Xếp các đội bóng theo điểm từ cao xuống thấp và gọi các đội đó là : \({A_1};\,\,{A_2};\,......;\,\,{A_n}\) với số điểm tương ứng là \({d_1};\,\,{d_2};.....;\,\,{d_n}.\)
Ta cần chứng minh : \({d_k} - {d_{k + 1}} \le n\,\,\forall k \in D\left\{ {1;\,\,2;\,\,.....;\,\,n - 1} \right\}.\)
Nhận xét : Với \(m\) đội bóng thì số trận đầu là \(\frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{2} \Rightarrow \) tổng số điểm các trận là \(m\left( {m - 1} \right).\)
Gọi \(T\) là tổng số điểm của \(n\) đội đã cho \( \Rightarrow T = n\left( {n - 1} \right).\)
Giả sử có \(k \in D\) sao cho \({d_k} - {d_{k + 1}} > n.\)
+) Nếu \(k = n - 1 \Rightarrow {d_{n - 1}} - {d_n} > n \Rightarrow {d_{n - 1}} > n.\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = T = {d_1} + {d_2} + .... + {d_{n - 1}} + {d_n} \ge \left( {n - 1} \right).{d_{n - 1}} > \left( {n - 1} \right)n\,\,\,\,\,\,\) (vô lý)
+) Nếu \(1 \le k \le n - 1\) ta có : Từ \({A_{k + 1}}\) đến \({A_n}\) có \(n - k\) đội
\( \Rightarrow \) Tổng số điểm của các đội này lớn hơn hoặc bằng\(\left( {n - k} \right)\left( {n - k - 1} \right)\) (theo nhận xét trên)
Mà \({A_{k + 1}}\) có số điểm lớn nhất \( \Rightarrow {d_{k + 1}} \ge n - k - 1 \Rightarrow {d_k} > {d_{k + 1}} + n \ge 2n - k - 1.\)
Vậy ta có : \({d_1} \ge {d_2} \ge ........ \ge {d_k} > 2n - k + 1.\)
\( \Rightarrow {d_1} + {d_2} + ...... + {d_k} > k\left( {2n - k - 1} \right).\)
Vậy ta có :
\(\begin{array}{l}n\left( {n - 1} \right) = T = \left( {{d_1} + {d_2} + ...... + {d_k}} \right) + \left( {{d_{k + 1}} + {d_{k + 2}} + ..... + {d_n}} \right)\\ \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) > k\left( {2n - l - 1} \right) + \left( {n - k} \right)\left( {n - k - 1} \right)\\ \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) > 2kn - {k^2} - k + {n^2} - kn - n - kn + {k^2} + k\\ \Rightarrow {n^2} - n > {n^2} - n\,\,\,\left( {vo\,\,\,ly} \right)\end{array}\)
Vậy \({d_k} - {d_{k + 1}} \le n\,\,\,\forall k \in D.\)
Ta chỉ ra 1 trường hợp xảy ra dấu ‘’=’’ : \({A_1}\) thắng hết các đội, các đội còn lại hòa nhau
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 2\left( {n - 1} \right)\\{d_2} = {d_3} = .... = n - 2\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} - {d_2} = n.\)
Vậy \(\mathop {Max}\limits_{k \in D} \left( {{d_k} - {d_{k + 1}}} \right) = n\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
Chọn C.
