Đáp án: $m∈\{3;-4\}$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$x^2=2mx+2m+1⇔x^2-2mx-2m-1=0(*)$

Ta có:

$Δ=(-2m)^2-4.1.(-2m-1)$

$=4m^2+8m+4$

Số điểm chung của $(P)$ và $(d)$ là số nghiệm của phương trình $(*)$

$(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt

$⇔$ Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt

$⇔Δ>0⇔4m^2+8m+4>0$

$⇔4(m+1)^2>0⇔(m+1)^2>0$

$⇔(m+1)^2\neq0$ (do $(m+1)^2≥0∀m$)

$⇔m+1\neq0⇔m\neq-1$

Do $y_1;y_2$ là tung độ giao điểm nên hoành độ $x_1;x_2$ của $2$ giao điểm là nghiệm của phương trình $(*)$

Nhận xét: $1-(-2m)+(-2m-1)=0$

$⇒$ Phương trình có $1$ nghiệm bằng $-1,$ nghiệm còn lại là $2m+1$

Xét $2$ trường hợp:

-Nếu $\begin{cases}x_1=-1\\x_2=2m+1\end{cases}⇒\begin{cases}y_1=(-1)^2=1\\y_2=(2m+1)^2\end{cases}$

Ta có: $y_1-y_2=48$

$⇔1-(2m+1)^2=48$

$⇔(2m+1)^2=-47$ (vô nghiệm)

-Nếu $\begin{cases}x_1=2m+1\\x_2=-1\end{cases}⇒\begin{cases}y_1=(2m+1)^2\\y_2=(-1)^2=1\end{cases}$

Ta có: $y_1-y_2=48$

$⇔(2m+1)^2-1=48$

$⇔(2m+1)^2=49$ (vô nghiệm)

$⇔\left[ \begin{array}{l}2m+1=7\\2m+1=-7\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=-4\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Đáp án:

\(\left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {97} }}{2}\\
m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {97} }}{2}\\
m = 0
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là

\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2mx + 2m + 1\\
 \to {x^2} - 2mx - 2m - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 > 0\\
 \to {\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
 \to m + 1 \ne 0\\
 \to m \ne  - 1\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} =  - 2m - 1
\end{array} \right.\\
Do:{y_1} - {y_2} = 48\\
 \to {x_1}^2 - {x_2}^2 = 48\\
 \to \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 48\\
 \to 2m\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 48\\
 \to m\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 24\\
 \to {x_1} - {x_2} = \dfrac{{24}}{m}\left( {m \ne 0} \right)\\
 \to {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
 \to {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 4{x_1}{x_2} = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
 \to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
 \to 4{m^2} - 4\left( { - 2m - 1} \right) = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
 \to 4{m^2} + 8m + 4 = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
 \to 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
 \to {\left( {m + 1} \right)^2} = \dfrac{{144}}{{{m^2}}}\\
 \to \left| {m + 1} \right| = \dfrac{{12}}{{\left| m \right|}}\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m + 1 = \dfrac{{12}}{m}\\
m + 1 =  - \dfrac{{12}}{m}
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{{{m^2} + m}}{m} = \dfrac{{12}}{m}\\
\dfrac{{{m^2} + m}}{m} =  - \dfrac{{12}}{m}
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
{m^2} + m - 12 = 0\\
{m^2} + m + 12 = 0\left( {vô nghiệm} \right)
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m = 4\\
m =  - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)