`a)` Gọi $G;N$ lần lượt là giao điểm của đường phân giác `\hat{BAC}` với $BC;BD$, $F;I$ là giao điểm của đường phân giác `\hat{BAC}` với $(O)$ ($AF<AI$)
Áp dụng tính chất góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có:
`\hat{BNG}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BF}+sđ\stackrel\frown{DI})\ (1)`
`\hat{BGN}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{CF}+sđ\stackrel\frown{BI})\ (2)`
Áp dụng tính chất góc có đỉnh bên ngoài đường tròn, ta có:
`\hat{DAI}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{DI}-sđ\stackrel\frown{CF})`
`\hat{BAI}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BI}-sđ\stackrel\frown{BF})`
Mà `AI` là phân giác `\hat{BAC}`
`=>\hat{DAI}=\hat{BAI}`
`=>1/ 2 (sđ\stackrel\frown{DI}-sđ\stackrel\frown{CF})=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BI}-sđ\stackrel\frown{BF})`
`=>sđ\stackrel\frown{DI}-sđ\stackrel\frown{CF}=sđ\stackrel\frown{BI}-sđ\stackrel\frown{BF}`
`=>sđ\stackrel\frown{BF}+sđ\stackrel\frown{DI}=sđ\stackrel\frown{CF}+sđ\stackrel\frown{BI}\ (3)`
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{BNG}=\hat{BGN}`
`=>∆BNG` cân tại $B$
Mà $BM\perp GN$ (gt)
`=>BM` vừa là đường cao và phân giác của `∆BNG`
`=>\hat{CBM}=\hat{MBD}`
`\hat{CBM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}` (góc nội tiếp chắn cung `CM)`
`\hat{MBD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DM}` (góc nội tiếp chắn cung `DM)`
`=>\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{DM}`
`=>CM=BM` (liên hệ dây và cung)
Ta lại có: `OC=OD=R`
`=>OM` là đường trung trực của $CD$
`=>OM`$\perp CD$
$\\$
`b)` Ta có:
`\hat{MDE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}` (góc nội tiếp chắn cung $CM$)
`\hat{MBD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}` (c/m trên)
`=>\hat{MDE}=\hat{MBD}`
Xét $∆MDE$ và $∆MBD$ có:
`\qquad \hat{M}` chung
`\qquad \hat{MDE}=\hat{MBD}` (c/m trên)
`=>∆MDE∽∆MBD` (g-g)
`=>{MD}/{MB}={ME}/{MD}`
`=>MD^2=MB.ME`
