Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
Ta có MA và MB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại A và B
\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OBM = {90^o}\) (tính chất tiếp tuyến)
Xét tứ giác OAMB có:
\(\angle OAM + \angle OBM = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)
Mà 2 góc đó là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác OAMB nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \)4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
2) Chứng minh \(E{B^2} = EC.EA\).
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:
\(\angle EAB = \angle EBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta BCE\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AEB\,\,\,chung\\\angle EAB = \angle EBC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta BCE\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{AE}}{{BE}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow B{E^2} = EC.EA\) (đpcm)
3) Chứng minh tứ giác HCEB là tứ giác nội tiếp.
Ta có MA và MB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại A và B
\( \Rightarrow OM \bot AB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét \(\Delta MHB\) vuông tại H có HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền MB
\( \Leftrightarrow HE = \frac{1}{2}MB = EB\)
\( \Rightarrow \Delta EHB\) cân tại E \( \Rightarrow \angle EHB = \angle EBH\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(\angle EBH = \angle ECB\,\,\,\left( {do\,\,\,\Delta ABE \sim \Delta BCE} \right) \Rightarrow \angle EHB = \angle ECB\)
Xét tứ giác HCEB có \(\angle EHB = \angle ECB\) cùng nhìn cạnh EB
\( \Rightarrow \) Tứ giác HCEB nội tiếp (dhnb).
4) Gọi D là giao điểm của MC và \(\left( O \right)\)\(\left( {D \ne C} \right).\) Chứng minh \(\Delta ABD\) là tam giác cân.
Ta có \(E{B^2} = EC.EA\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
Mà \(EB = ME \Rightarrow M{E^2} = EC.EA \Rightarrow \frac{{ME}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{ME}}\)
Xét \(\Delta MEC\) và \(\Delta AEM\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AEM\,\,\,chung\\\frac{{ME}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{ME}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MEC \sim \Delta AEM\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle EMC = \angle EAM\) (cặp góc tương ứng)
Mà \(\angle EAM = \angle MDA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \angle EMC = \angle MDA.\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
\( \Rightarrow ME//AD \Rightarrow \angle DAB = \angle MBA\) (2 góc so le trong)
Mà \(\angle MBA = \angle ADB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)
\( \Rightarrow \angle DAB = \angle ADB \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại B. (đpcm)
