a,Xét (O) có:
AM là tiếp tuyến, A là tiếp điểm ⇒ OA ⊥ AM ⇒ $\widehat{OAM}=90°$
Hay $\widehat{OAE}=90°$
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAOE là O'
Xét (O') có: A, O, E, H ∈ (O')
⇒ Tứ giác AOHE nội tiếp đường tròn (O')
⇒ $\widehat{OHE}+\widehat{OAE}=180°$ (hai góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp)
Hay $\widehat{OHE}+90°=180°$
⇒$\widehat{OHE}=180°-90°=90°$
b, $\widehat{OHE}=90°$ (cmt)⇒ OH ⊥ EF ⇒ $\widehat{OHF}=90°$
Xét (O) có: BM là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ MF tại B ⇒ $\widehat{OBF}=90°$
Xét tứ giác OHBF có: $\widehat{OHF}=\widehat{OBF}=90°$
Hai đỉnh H và B cùng nhìn OF dưới một góc vuông
⇒ Tứ giác OHBF nội tiếp đường tròn đường kính OF
c, Xét (O') có:
$\widehat{OEH}=\widehat{OAH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{OH}$)
Hay $\widehat{OEF}=\widehat{OAB}$
Xét đường tròn đường kính OF có:
$\widehat{OFH}=\widehat{OBH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{OH}$)
Hay $\widehat{OFE}=\widehat{OBA}$
Xét ΔOAB có: OA = OB = R
⇒ ΔOAB cân tại O
⇒ $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$
Mà $\widehat{OEF}=\widehat{OAB}$ (cmt), $\widehat{OFE}=\widehat{OBA}$ (cmt)
⇒ $\widehat{OEF}=\widehat{OFE}$
Xét ΔEOF có: $\widehat{OEF}=\widehat{OFE}$ (cmt)
⇒ ΔOEF cân tại O
d, Có $\widehat{OFH}=\widehat{OBH}$ (cmt)
Hay $\widehat{OFH}=\widehat{OBI}$
Xét (O) có: AB là dây không đi qua tâm, I là trung điểm của AB (gt)
⇒ OI ⊥ AB ⇒ $\widehat{OIB}=90°$
Xét ΔOIB và ΔOHF có:
$\widehat{OIB}=\widehat{OHF}=90°$
$\widehat{OFH}=\widehat{OBI}$ (cmt)
⇒ ΔOIB ~ ΔOHF (g.g)
⇒ $\frac{OI}{OH}=\frac{OB}{OF}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ OI . OF = OB . OH
