Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a/ Ta có: $\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0$
$⇒ OAMB$ là tứ giác nội tiếp
Hay $O, A, M, B$ cùng thuộc một đường tròn $(1)$
$\widehat{OEM}=\widehat{OAM}=90^0$
$⇒ OEAM$ là tứ giác nội tiếp
Hay $O, E, A, M$ cùng thuộc một đường tròn $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $O, E, A, M, B$ cùng thuộc một đường tròn
b/ Ta có: $AM=BM$ và $AEBM$ là tứ giác nội tiếp
$⇒ \widehat{AEM}=\widehat{BEM}$
Có: $\widehat{ECF}=\widehat{EMA}$ (đồng vị)
Mà $\widehat{EMA}=\widehat{EBA}$
nên $\widehat{ECF}=\widehat{EBA}$
Xét $ΔEFC$ và $ΔEIB$
Có: $\widehat{ECF}=\widehat{EBI}$ (chứng minh trên)
$\widehat{FEC}=\widehat{IEB}$ (chứng minh trên)
$⇒ΔEFC \backsim ΔEIB$
c/ Có: $\widehat{AEM}=\widehat{BAM}$ (do $AM=BM$)
$⇒ \widehat{AEM}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}$
$⇒ \widehat{AEM}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}$
$⇒ 180^0-\widehat{AEM}=180^0-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})$
$⇒ \widehat{AED}=\widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung $AC$)
nên $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$
$⇒ \widehat{DAE}+\widehat{EAB}=\widehat{BAC}+\widehat{EAB}$
$⇒ \widehat{DAB}=\widehat{EAC}$
Mà $\widehat{DAB}=\widehat{DCB}$ nên $\widehat{EAC}=\widehat{DCB}$
Xét $ΔEAC$ và $ΔECB$
Có: $\widehat{EAC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh trên)
$\widehat{AEC}=\widehat{CEB}$ (câu $b$)
$⇒ ΔEAC \backsim ΔECB$
$⇒ \dfrac{EC}{EB}=\dfrac{EA}{EC}$
$⇒ EC^2=EA.EB$ $(*)$
Có: $ΔEIB \backsim ΔEAM$ $(g-g)$
$⇒ \dfrac{EB}{EM}=\dfrac{EI}{EA}$
$⇒ EM.EI=EA.EB$ $(**)$
Từ $(*), (**)$ suy ra: $EC^2=EM.EI$
$⇒ \dfrac{EC}{EM}=\dfrac{EI}{EC}$
Mà $\dfrac{EC}{EM}=\dfrac{EF}{EA}$ (do $FC // AM$)
nên $\dfrac{EI}{EC}=\dfrac{EF}{EA}$
Theo định lý Talet đảo: $FI // AC$
