- Đặt \(CD = x\) . Tính chu vi nửa hình tròn theo \(x\), từ đó tính \(AD\) theo \(x\). - Tính điện tích nửa hình tròn và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra diện tích cánh cổng. - Sử dụng: Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a < 0} \right)\) đạt GTLN khi \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\).Giải chi tiết:Đặt \(CD = x\) \( \Rightarrow \) Chu vi nửa hình tròn là \(\dfrac{1}{2}\pi AB = \dfrac{1}{2}\pi x\). \( \Rightarrow AD = \dfrac{{6 - x - \dfrac{1}{2}\pi x}}{2} = 3 - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right)x\). Diện tích nửa hình tròn là: \(\dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8}\). Diện tích hình chữ nhật là \(AD.CD = \left( {3 - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right)x} \right).x = 3x - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right){x^2}\). \( \Rightarrow \) Diện tích cánh cổng là \(\begin{array}{l}\dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + 3x - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right){x^2}\\ = - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi - \dfrac{1}{8}\pi } \right){x^2} + 3x\\ = - \dfrac{1}{8}\left( {\pi + 4} \right){x^2} + 3x\end{array}\) Hàm số \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {2 + \pi } \right){x^2} + 3x\) đạt GTLN tại \(x = \dfrac{{ - 3}}{{ - 2.\dfrac{1}{8}\left( {\pi + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\pi + 4}}\). Khi đó diện tích cánh cổng đạt GTLN bằng \( - \dfrac{1}{8}\left( {\pi + 4} \right){\left( {\dfrac{{12}}{{\pi + 4}}} \right)^2} + 3\dfrac{{12}}{{\pi + 4}} = \dfrac{{18}}{{\pi + 4}}\). Chọn A
