a)
$MI \bot AB\Rightarrow\widehat{ AIM} = 90^o $
$MK \bot AC \Rightarrow\widehat{MKA} = 90^o$
Xét tứ giác $AIMK$ có:
$\widehat{ AIM} + \widehat{ MKA} = 90^o + 90^o = 180^o$ mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh.
Suy ra tứ giác $AIMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AM)$
b)
Xét tứ giác $KMPC$ ta có:
$\widehat{MPC} = 90^o$ (MP⊥BC)
$\widehat{MKC} = 90^o$ (MK⊥AC)
$⇒ \widehat{MPC} +\widehat{ MKC} = 180^o$ mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
$⇒$ tứ giác $KMPC$ nội tiếp nội tiếp đường tròn đường kính $(MC)$
$⇒ \widehat{MPK} =\widehat{ MCK}$ (1) (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MK của tứ giác KMPC)
$\widehat{MCK} = \widehat{MBC}$ (2) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắng cung CM của (O))
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{MPK} =\widehat{ MBC}$ (đpcm) (3)
c)
Xét tứ giác $PBMI$ ta có:
$\widehat{BPM} = 90^o$ (MP⊥BC)
$\widehat{BIM} = 90^o$ (MI⊥BA)
$⇒\widehat{ BPM} + \widehat{BIM} = 180^o$ mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
$⇒$ tứ giác $PBMI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $(BM)$
$⇒ \widehat{MIP} =\widehat{ MBC}$ (4) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP của tứ giác PBMI)
Từ (3) và (4) $⇒ \widehat{MIP} = \widehat{MPK}$ (*)
Ta có:
$\widehat{PMI} + \widehat{PBI} = 180^o$
$\widehat{PMK} +\widehat{ PCK} = 180^o$
mà $\widehat{ABC} =\widehat{ ACB}$
Từ ba điều trên suy ra $\widehat{ PMK }=\widehat{ PMI}$ (**)
Xét ΔMIP và ΔMPK ta có:
$\widehat{PMK} = \widehat{PMI}$ (chứng minh từ (**))
$\widehat{MIP} =\widehat{ MPK}$ (chứng minh từ (*))
$⇒ Δ MIP \sim Δ MPK$
$⇔ \dfrac{MI}{MP}=\dfrac{MP}{MK}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$ ⇔ MP2 = MI . MK$
$⇒ MI . MK . MP = MP3$
$⇒ MI . MK . MP $ lớn nhất $⇔$ $MP$ lớn nhất
Dựng $OD\bot BC, MO\cap BC=E\Rightarrow OD$ cố định
$\Rightarrow MP\le ME$
$\Rightarrow OD\le OE$
$\Rightarrow MP+OD\le ME+OE=MO$
$\Rightarrow MP\le MO-OD=R-OD\Rightarrow MP$ lớn nhất khi $MP=R-OD$
$⇒ M$ nằm chính giữa cung nhỏ $BC$.
VOTE MIK 5 SAO NHE BN
