$∆\ge0\Leftrightarrow 4-4m+12\ge0\Leftrightarrow m\le4$
$x_1+x_2=2\Rightarrow x_1=2-x_2$
$x_1^2+3x_2^2=4x_1x_2\\ \Leftrightarrow (2-x_2)^2+3x_2^2=4x_2(2-x_2)\\ \Leftrightarrow 4x_2^2-4x_2+4=8x_2-4x_2^2\\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x_2=\frac{1}{2}\Rightarrow x_1=\frac{3}{2}\\x_2=1\Rightarrow x_1=1\end{matrix}\right.$
Với$x_1=\frac{3}{2};x_2=\frac{1}{2}$ thì
$x_1x_2=m-3=\frac{3}{4}\Rightarrow m=\frac{15}{4}\ (t/m)$
Với $x_1=1;x_2=1$ thì
$x_1x_2=m-3=1\Rightarrow m=4\ (t/m)$
Vậy $m=\{\frac{15}{4};4\}$