Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ: $x\ge 0;x \ne 1$

a) Ta có:

$\begin{array}{l}
x = \sqrt {7 + 4\sqrt 3 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \text{thỏa mãn điều kiện xác định}\\
 = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\
 = 2 + \sqrt 3  + 2 - \sqrt 3 \\
 = 4\\
 \Rightarrow \sqrt x  = 2
\end{array}$

Khi đó:

Với $x = \sqrt {7 + 4 \sqrt 3 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } $ thì: $A = \dfrac{{3.2 - 5}}{{4 + 3}} = \dfrac{1}{7}$

Vậy $A = \dfrac{1}{7}$ với $x = \sqrt {7 + 4\sqrt 3 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } $

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \dfrac{6}{{1 - x}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{6}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{3x - 2\sqrt x  - 5}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {3\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{3\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  - 1}}
\end{array}$

c) Ta có:

$\dfrac{B}{A} = \dfrac{{\dfrac{{3\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  - 1}}}}{{\dfrac{{3\sqrt x  - 5}}{{x + 3}}}} = \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 1}}$

Để $\sqrt {\dfrac{B}{A}} $ tồn tại 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \dfrac{B}{A} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{3\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  - 1}}}}{{\dfrac{{3\sqrt x  - 5}}{{x + 3}}}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 1}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 > 0
\end{array}$

Lại có:

$P-6=\dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 1}} - 6 = \dfrac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}} \ge 0,\forall x$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 1}} - 6 \ge 0\\
 \Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 1}} \ge 6\\
 \Rightarrow \dfrac{B}{A} \ge 6\\
 \Rightarrow \sqrt {\dfrac{B}{A}}  \ge \sqrt 6 
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra

$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 9$

Vậy $MinP = \sqrt 6  \Leftrightarrow x = 9$