Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\text{VD1.}$

$\text{1 + 2 + 3 + ... n = $\dfrac{n(n+1)}{2}$ (1) }$

$\text{Giải:}$

$\text{+) Với n = 1 ta có:}$

          $\text{ VT = 1}$

          $\text{VP = $\dfrac{1(1+1)}{2}$ = 1}$

         $\text{⇒ VT = VP ⇒ (1) đúng với n = 1}$

$\text{+) Giả sử (1) đúng với n = k, k ∈ N*, tức là:}$

             $\text{1 + 2 + 3 + ... + k = $\dfrac{k(k+1)}{2}$}$ (2)

$\text{Xét: 1 + 2 + ... + k + k + 1 = (1 + 2 + ... + k ) + k + 1}$

                                          $\text{ = $\dfrac{k(k+1)}{2}$ + k + 1 do (2)}$

                                           $\text{= (k + 1)($\dfrac{k}{2}$ + 1)}$

                                          $\text{= $\dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2}$}$

$\text{⇒ (1) đúng với n = k + 1}$

$\text{Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra (1) đúng với ∀n ∈ N* ⇒ (đpcm)}$

$\text{VD2.}$

$\text{ 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n² (1)}$

$\text{Giải:}$

$\text{+) Với n = 1 ta có:}$

         $\text{VT = 1}$

         $\text{VP = 1² = 1}$

$\text{⇒ (1) đúng với n = 1}$

$\text{+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là:}$

     $\text{$1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = k² ( k ∈ N*) (2)$}$

$\text{Xét: 1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 + 2k + 1 = (1 + 3 + ... + 2k - 1) + 2k + 1 }$

                                                           $\text{= k² + 2k + 1 do (2) }$

                                                           $\text{= (k + 1)²}$

$\text{Suy ra (1) đúng với n = k + 1}$

$\text{Theo nguyên lý quy nạp ⇒ (1) đúng với ∀n ∈ N* ⇒ (đpcm)}$

$\text{VD3.}$ $\text{1² + 2² + ... + n² = $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ (1)}$

$\text{Giải:}$

$\text{+) Với n = 1 ta có:}$

         $\text{VT = 1² = 1}$

         $\text{VP = $\dfrac{1(1 + 1)(2 + 1)}{6}$ = 1}$

$\text{⇒ VT = VP ⇒ (1) đúng với n = 1}$

$\text{+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là:}$

      $\text{1² + 2² + ... + k² = $\dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$ (2)}$

$\text{Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là:}$

       $\text{1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² = $\dfrac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$ (3)}$

$\text{Thật vậy ta có: 1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² = (1² + 2² + ... + k²) + (k + 1)²}$

                                                                   $\text{= $\dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$ + (k + 1)² do (2)}$     

                                                                   $\text{= (k + 1)($\dfrac{k(2k + 1)}{6}$ + k + 1)}$

                                                                    $\text{= $\dfrac{k + 1}{6}$( 2k² + k + 6 + k + 6)}$         

                                                                    $\text{= $\dfrac{k + 1}{6}$ (2k(k + 2) + 3(k + 2)}$          

                                                                    $\text{= $\dfrac{k + 1}{6}$.(k + 2).(2k + 1)}$           

                                                                    $\text{= $\dfrac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$ }$}$          

                                                                   $\text{ ⇒ (3) đúng}$

$\text{Theo nguyên lý quy nạp ⇒ (1) đúng với ∀n ∈ N* }$

Giải thích các bước giải:

 VD3 :

S1 = 1 + 2 + 3 + ....+n = `[n(n + 1)]/2`
ta tính: S2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n(n+1)
3S2 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +..+ n(n+1).3
= 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +..+ n(n+1)(n+2 -(n-1))
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 +.. - (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)
= n(n+1)(n+2)
vậy S2 = `[n(n+1)(n+2)]/3`
tính S3 = `1^2` + `2^2` + ...+ `n^2`
để ý S3 = S2 - S1 = `[n(n+1)(n+2)]/3` - `[n(n + 1)]/2` = `[n(n + 1)(2n + 1)]/6`