a) Ta có:
$\widehat{BAD} = 90^\circ$ ($ABCD$ là hình chữ nhật)
$\to \widehat{HAK} =90^\circ$ (góc kề bù tương ứng)
$\widehat{FHA} = 90^\circ\quad (FH\perp AD)$
$\widehat{FKA} = 90^\circ\quad (FK\perp AB)$
$\to \widehat{HAK} = \widehat{FHA} = \widehat{FKA} =90^\circ$
Xét tứ giác $FHAK$ có:
$\widehat{HAK} = \widehat{FHA} = \widehat{FKA} =90^\circ\quad (cmt)$
Do đó $FHAK$ là hình chữ nhật
b) Ta có:
$AC\cap BD =\{O\}$
$\to OA = OC =\dfrac12AC$
Lại có:
$EC= EF = \dfrac12CF\quad (gt)$
$\to EO$ là đường trung bình của $ΔACF$
$\to FA//EO$
$\to FA//BD$
c) Ta có:
$FHAK$ là hình chữ nhật (câu a)
Gọi $FA\cap HK = \{I\}$
$\to \begin{cases}IA = IF = \dfrac12AF\\\widehat{IAH} = \widehat{IHA}\end{cases}$
Xét $ΔFAC$ có:
$IA = IF =\dfrac12AF\quad (cmt)$
$EC = EF =\dfrac12CF\quad (gt)$
$\to IE$ là đường trung bình
$\to IE//AC\qquad (1)$
Mặt khác:
$ABCD$ là hình chữ nhật
$\to \widehat{OAD} = \widehat{ODA}$
mà $\widehat{BDA}=\widehat{IAH}$ (so le trong)
nên $\widehat{OAD} = \widehat{IAH}$
Lại có: $\widehat{IAH} = \widehat{IHA}\quad (cmt)$
nên $\widehat{OAD} = \widehat{IHA}$
$\to OA//IH$
$\to AC//HK\qquad (2)$
$(1)(2)\to E,\,H,\,K$ thẳng hàng
