Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Chứng minh: SAOB là tứ giác nội tiếp và: \(S{A^2} = SD.SC.\)
Ta có \(SA,\,\,SB\) là hai tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) tại \(A,\,B\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle SAO = \angle SBO = {90^0}\\ \Rightarrow \angle SAO + \angle SBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow SAOB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Ta có: \(\angle SAC = \angle ADS\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
Xét \(\Delta SAC\) và \(\Delta SDA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle S\,\,\,chung\\\angle SAC = \angle SDA\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SA}}{{SD}} = \frac{{SC}}{{SA}} \Leftrightarrow S{A^2} = SD.SC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
b) Gọi H là giao điểm AB và OS. Chứng minh rằng: \(\angle DCO = \angle SHC.\)
Ta có: \(OC = OD = R \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O \Rightarrow \angle CDO = \angle DCO\) (hai góc kề đáy).
Có \(SA = SB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và \(OA = OB = R \Rightarrow SO\) là đường trung trực của \(AB \Rightarrow SO \bot AB = \left\{ H \right\}.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta SAO\) có đường cao \(AH\) là có: \(S{A^2} = SH.SO\)
\( \Rightarrow SD.SC = SH.SO\,\,\left( { = S{A^2}} \right) \Rightarrow \frac{{SD}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SC}}\)
Xét \(\Delta SOD\) và \(\Delta SCH\) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{SD}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SC}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle S\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta SOD \sim \Delta SCH\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle SHC = \angle DCO\) (hai góc tương ứng).
c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: \(\Delta IAC \sim \Delta ICB.\)
Gọi \(SI \cap AB = \left\{ P \right\}.\)
Ta có \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD\) (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \angle OIC = \angle OHA\,\,\,\left( { = {{90}^0}} \right) \Rightarrow \angle OIC + \angle OHA\, = {180^0}\)
\( \Rightarrow OHPI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Xét \(\Delta SPH\) và \(\Delta SOI\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle S\,\,chung\\\angle SHP = \angle SIO = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta SPH \sim \Delta SOI\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SP}}{{SO}} = \frac{{SH}}{{SI}} \Leftrightarrow SP.SI = SH.SO = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SA}}{{SO}}\end{array}\)
Xét \(\Delta SAP\)  và \(\Delta SIA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle S\,\,chung\\\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SA}}{{SO}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SPH \sim \Delta SOI\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle SAB = \angle AIC = \angle CIB\)  (các góc tương ứng).
Ta có:\(\angle CAI = \angle SAI - \angle SAC = \angle SPA - \angle SAC = \frac{1}{2}\,\,cung\,DB = \angle DCB.\)
Xét \(\Delta IAC\) và \(\Delta ICB\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle AIC = \angle CIB\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ICB = \angle CAI\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta IAC \sim \Delta ICB\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)