Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \\
\ge \sqrt {3.\sqrt[3]{{{a^6}.{b^6}.1}}} + \sqrt {3.\sqrt[3]{{{b^6}.{c^6}.1}}} + \sqrt {3.\sqrt[3]{{{c^6}.{a^6}.1}}} \\
= \sqrt {3.{a^2}{b^2}} + \sqrt {3.{b^2}{c^2}} + \sqrt {3.{c^2}.{a^2}} \\
= \sqrt 3 \left( {ab + bc + ca} \right) = 3\sqrt 3
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1