Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(x = {x_1}\) nên \(a = {x_1}\).
Đường tròn tiếp xúc với \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) nên ta có \(d\left( {I,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {I,\,\,{\Delta _2}} \right)\).Giải chi tiết:Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn cần tìm.
Vì tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(x = 5\) nên \(a = 5\)\( \Rightarrow \)Điểm \(I\left( {5;\,\,b} \right)\)
Vì đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}:3x--y + 3 = 0,{\rm{ }}{d_2}:x--3y + 9 = 0\) nên ta có:
\(d\left( {I\,;\,{d_1}} \right) = d\left( {I\,;\,{d_2}} \right) = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {15 - b + 3} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{\left| {5 - 3b + 9} \right|}}{{\sqrt {10} }}\\ \Leftrightarrow \left| {15 - b + 3} \right| = \left| {5 - 3b + 9} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {18 - b} \right| = \left| {14 - 3b} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}18 - b = 14 - 3b\\18 - b = - 14 + 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b = - 4\\ - 4b = - 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 2\\b = 8\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(b = - 2\) ta có \(I\left( {5;\,\, - 2} \right)\) và \(R = \dfrac{{\left| {15 + 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {10} }} = 2\sqrt {10} \).
\( \Rightarrow \left( C \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 40\)
+) Với \(b = 8\) ta có \(I\left( {5;\,\,b} \right)\) và \(R = \dfrac{{\left| {15 - 8 + 3} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \).
\( \Rightarrow \left( C \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 10\)
Vậy có \(2\) đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn C.
