Giải thích các bước giải:
Ta có $(d):y-2=0\to \vec{n}=(0, 1)$ là vector pháp tuyến của $(d)$
Phương trình đường thẳng đi qua $M(4,2)$ vuông góc với $(d)$ là:
$$1(x-4)+0(y-2)=0\to x-4=0$$
$\to$Gọi $I$ là tâm đường tròn cần tìm
$\to (I)$ đi qua $M$ và $I\in $ đường thẳng $x-4=0$
$\to I(4, a)$
$\to IM=\sqrt{(4-4)^2+(a-2)^2}=|a-2|$ là bán kính của $(I)$
Ta có $D(0, -2), R=2$ là tâm và bán kính của $(C)$
Để $(C), (I)$ tiếp xúc
$\to ID=2+|a-2|$ hoặc $ID=|2-|a-2||$
Giải $ID=2+|a-2|$
$\to \sqrt{(0-4)^2+(-2-a)^2}=2+|a-2|$
$\to a=-\dfrac13$
$\to I(4, -\dfrac13)$
$\to (I): (x-4)^2+(y+\dfrac13)^2=|-\dfrac13-2|^2=\dfrac{49}9$
Giải $ID=|2-|a-2||$
$\to \sqrt{(0-4)^2+(-2-a)^2}=|2-|a-2||$
$\to (0-4)^2+(-2-a)^2=(2-|a-2|)^2$
$\to a=-5$
$\to I(4, -5), IM=|-5-2|=7$
$\to (I): (x-4)^2+(y+5)^2=7^2$
