Đáp án:
$m=\pm \sqrt{5}$
Giải thích các bước giải:
$(C_m):y=x^3+mx^2+1\\ (d):y=-x+1$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3+mx^2+x=0\\ \Leftrightarrow x(x^2+mx+1)=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \Rightarrow y=1\Rightarrow A(0;1)\\ x=x_B\\x=x_C \end{array} \right.$
Với $x_B;x_C$ là nghiệm của $x^2+mx+1=0$
$\Delta=m^2-4\\ \Delta >0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m>2\\ m<-2\end{array} \right.\\ Vi-et: x_B+x_C=-m\\ x_Bx_C=1\\ y'=3x^2+2mx$
Tiếp tuyến tại $B,C$ vuông góc với nhau
$\Leftrightarrow y'(x_B).y'(x_C)=-1\\ \Leftrightarrow (3x_B^2+2mx_B)(3x_C^2+2mx_C)+1=0\\ \Leftrightarrow 9(x_Bx_C)^2+6mx_Bx_C(x_B+x_C)+4m^2x_Bx_C+1=0\\ \Leftrightarrow 9-6m^2+4m^2+1=0\\ \Leftrightarrow 2m^2=10\\ \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{5}(TM)$
