Đáp án:Bài này rất đơn giản ta sử dụng bất đẳng thức cauchy(còn gọi là cosi) với 2 số dương
Giải thích các bước giải:
$a+b+c+ab+bc+ca=6abc$
Vì $a,b,c>0$
$\Rightarrow abc>0$
Ta chia 2 vế cho $abc>0$ ta có:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=6$
Áp dụng bất đẳng thức cauchy(còn gọi là cosi) với 2 số dương ta có:
$\dfrac{1}{a^2}+1 \ge \dfrac{2}{a}$
$\dfrac{1}{b^2}+1 \ge \dfrac{2}{b}$
$\dfrac{1}{c^2}+1 \ge \dfrac{2}{c}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3 \ge \dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}(1)$
Áp dụng bất đẳng thức cauchy(còn gọi là cosi) với 2 số dương tương tự như trên ta có:
$\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{2}{b^2}+\dfrac{2}{c^2} \ge \dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}(2)$
Cộng từng vế (1)(2) ta có:
$3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+3 \ge 2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=12$ do $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=6$
$\Rightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+1 \ge 4$ (chia 2 vế cho 3)
$\Rightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \ge 3(đpcm)$
Dấu "=" xảy ra khi:$a=b=c=1$
