Đáp án:

$Min_A=\dfrac{15}{2}$ khi `a=b=c=1`

Giải thích các bước giải:

`***`Chứng minh bất đẳng thức:

`a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2`     `(1)`

Ta có:

`3+[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]`

`=[a/(a+b)+b/(a+b)+b/(b+c)+c/(b+c)+a/(c+a)+c/(c+a)]+[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]`

`=(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))`

`⇒2(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))`

`=[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))`

`=1+(a+b)/(b+c)+(a+b)/(c+a)+(b+c)/(a+b)+1+(b+c)/(c+a)+(c+a)/(a+b)+(c+a)/(b+c)+1`

`=3+((a+b)/(b+c)+(b+c)/(a+b))+((a+b)/(c+a)+(c+a)/(a+b))+((b+c)/(c+a)+(c+a)/(b+c))`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `a;b;c>0` ta có:

`(a+b)/(b+c)+(b+c)/(a+b)≥2\sqrt{(a+b)/(b+c).(b+c)/(a+b)}=2`

`(a+b)/(c+a)+(c+a)/(a+b)≥2\sqrt{(a+b)/(c+a).(c+a)/(a+b)}=2`

`(b+c)/(c+a)+(c+a)/(b+c)≥2\sqrt{(b+c)/(c+a).(c+a)/(b+c)}=2`

`⇒3+((a+b)/(b+c)+(b+c)/(a+b))+((a+b)/(c+a)+(c+a)/(a+b))+((b+c)/(c+a)+(c+a)/(b+c))≥9`

`⇒2(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))≥9`

`⇒(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))≥9/2`

`⇒3+[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]≥9/2`

`⇒a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2(đpcm)`

`A=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c+c/(a+b)+b/(c+a)+a/(b+c)`

`=[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+[(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c]`

`=[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+b/a+c/a+c/b+a/b+a/c+b/c`

`=[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `a;b;c>0` ta có:

`b/a+a/b≥2\sqrt{b/(a).(a)/b}=2`

`c/a+a/c≥2\sqrt{c/(a).(a)/c}=2`

`c/b+b/c≥2\sqrt{c/(b).(b)/c}=2`

`⇒(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)≥6`   `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`⇒[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)≥3/2+6=15/2`

`⇒A≥15/2`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:`a=b=c=1`

Vậy $Min_A=\dfrac{15}{2}$ khi `a=b=c=1`