Với \(a\),\(b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{{1 + ab}}{{\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} }}\)A.B.C.D.

sontungmtpahihi

2 năm trước

Với \(a\),\(b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{{1 + ab}}{{\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} }}\)
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 26 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thuha0611

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{a}{{ab + a + b + {a^2}}} + \frac{b}{{ab + a + b + {b^2}}}\\ = \frac{a}{{a\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{a}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{b}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + 1} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b + 1} \right) + b\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{ab + a + ab + b}}{{\left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{2\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)
Bây giờ ta cần chứng minh \(2\left( {a + b} \right) = \sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \) là bài toán được giải quyết.
Ta có \(ab + a + b = 1 \Leftrightarrow ab = 1 - a - b\)
\(\begin{array}{l}\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}} \right) = 1 + {a^2} + {b^2} + {\left( {1 - a - b} \right)^2}\\ = 1 + {a^2} + {b^2} + 1 + {a^2} + {b^2} - 2a - 2b + 2ab = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + 1 - a - b} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right) = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) = 2{\left( {a + b} \right)^2}\end{array}\)
Suy ra \(\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} = \sqrt {2.2{{\left( {a + b} \right)}^2}} = 2\left( {a + b} \right)\) (dpcm).

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Chứng minh rằng nếu \(xyz = 1\) thì \(\frac{1}{{1 + x + xy}} + \frac{1}{{1 + y + yz}} + \frac{1}{{1 + z + zx}} = 1\).
A.
B.
C.
D.

Cho \(\Delta ABC\) có \(A{\rm{D}}\) là phân giác của \(\angle BAC\;\,\,\left( {D \in BC} \right)\). Từ \(D\) kẻ các đường thẳng song song với \(AB\) và \(AC\) , chúng cắt \(AC,\,AB\) tại \(E\) và \(F\) .
a. Chứng minh: Tứ giác \(A{\rm{ED}}F\) là hình thoi.
b. Trên tia \(AB\) lấy điểm \(G\) sao cho \(F\) là trung điểm \(AG\) . Chứng minh: Tứ giác \(EFG{\rm{D}}\) là hình bình hành.
c. Gọi \(I\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(F\) , tia \(IA\) cắt tia \(DE\) tại \(K\) . Gọi \(O\) là giao điểm của \(A{\rm{D}}\) và \(EF\) . Chứng minh: \(G\) đối xứng với \(K\) qua \(O\) .
d. Tìm điều kiện của \(\Delta ABC\) để tứ giác \(A{\rm{D}}GI\) là hình vuông.
A.
B.
C.
D.

NST giới tính và NST thường có điểm gì khác nhau ?
A.
B.
C.
D.

Quá trình tạo tinh trùng với quá trình tạo trứng có điểm gì khác nhau ?
A.
B.
C.
D.

Cơ chế nào đảm bảo cho bộ NST thể của loài ổn định ?
A.
B.
C.
D.

Chọn từ, cụm từ phù hợp trong số những từ và cụm từ cho sẵn và điền vào chỗ trống trong câu sau :
Ở động vật, các tinh bào bậc 1 qua hai lần phân bào giảm phân tạo ra……(1)……các tế bào con phát triển thành…(2)….Có hình dạng, kích thước….(3)…. Các noãn bào bậc 1 qua hai lần phân bào giảm phân tạo ra 1
trứng và 3 thể cực có kích thước…..(4)…
A. khác nhau
B. các tinh trùng
C. giống nhau
D. 4 tế bào con
A.
B.
C.
D.

Tại sao ngành nuôi trồng thủy sản thế giới ngày càng phát triển?
A.
B.
C.
D.

Đoạn trích trên được viết theo phong cách ngôn ngữ nào?
A.
B.
C.
D.

Nêu chủ đề của đoạn trích trên.
A.
B.
C.
D.

Đoạn trích đem đến cho anh/chị cảm xúc gì?
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến