Với các số thực dương a, b thay đổi. Chứng minh rằng: $(a+b)(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}})\leqslant 2\sqrt{2}$

anh118duc

2 năm trước

Loga Sinh Học lớp 12

0 lượt thích 33 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ngophuonglan2609

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:

$VT\leqslant (a+b)\sqrt{2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})}$

Ta cần chứng minh:

$(a+b)\sqrt{2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})}\leqslant 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 8\geqslant 2(a+b)^2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})$

$\Leftrightarrow \frac{2(a-b)^2(5a^2-6ab+5b^2)}{(a^2-ab+2b^2)(2a^2-b+b^2)}\geq 0$ (luôn đúng)

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

anhkimlx

Giải thích các bước giải:

Ta có:

`a^2 - ab + 2b^2 = a^2 - ab + b^2 + b^2`

`= (a+b)^2/4 + 3/4 (a+b)^2 + b^2 ge (a+b)^2/4 + b^2 ge 2 sqrt((a+b)^2/4 * b^2) = (a+b)b` `(Cô-si)`

`=> 1/sqrt(a^2 - ab + 2b^2) le 1/sqrt((a+b)b) = sqrt2/sqrt((a+b)2b) le sqrt2/2 (1/(a+b) + 1/(2b))` `(Cô-si)`

Tương tự:

`1/sqrt(b^2 - ab + 2a^2) le sqrt2/2 (1/(a+b) + 1/(2a))`

`=> S le (a+b)[sqrt2/2(1/(a+b) + 1/(2a) + 1/(a+b) +1/(2a))]`

`S le (a+b) * sqrt2/2 (2/(a+b) + 1/(2a) + 1/(2b))`

`S le sqrt2/2 * [ 2+ 1/2(1/a +1/b) (a+b)]`

`S le sqrt2/2 (2 + 1/2 * 4) le 2 sqrt 2`

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

hoa tan 2,86 gam na2co3.ah2o trong 22,14 gam nuoc ta duoc dung dich nong do 2,12%.xac dinh ct muoi ngam nuoc

a) Tìm Max D = x^2 + 5x – 6 b) Max E = ax^2 + bx + c

Nhận xét của em về đường lối kháng chiến của đàng và tinh thần chiến đấu của quân dân ta từ chiến thắng Việt Bắc đến chiến thắng Điện Biên Phủ ?

Giai het cac bai chinh xac , goi hinh chup giup mik vote 5 sao hay nhat

Nêu ý nghĩa và cách. Xác định góc nghiêng thành khuôn và so sánh dập khối trên khuôn hở và khuôn kín

Đặt vật sáng AB trước thấu kính phân kì ta được ảnh bằng 1 phần 3 lần vật. Xác định khoảng cách từ ảnh đến thấu kính , từ vật đến thấu kính và khoảng cách từ ảnh đến vật Biết tiêu cự thấu kính bằng 8cm

lm giup em cau 2,3 voi.Em cam on

Giải bài 1,2,3 tiếng anh (English)

Giúp với pls trình bày bước giải ra luôn nha

Đề: Em hãy Giải thích lời nói của bác hồ: Ko có việc gì khó Chỉ sợ lòng ko bền Đào núi và lấp biển Có chí ắt sẽ tc Nhớ hay và dài nhé mn ko schep nha ko out

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến