Đáp án:
$1)\quad B.\ 8$
$2)\quad B.\ 6$
$3)\quad C.\ 8$
$4)\quad A.\ \dfrac{1}{AI^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{4HC^2}$
Giải thích các bước giải:
Câu 1:
Ta có: $\dfrac{HB}{HC} = \dfrac13$
Đặt $HB = x;\ HC = 3x\quad (x >0)$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad AH^2 = HB.HC$
$\Leftrightarrow 12 = 3x^2$
$\Leftrightarrow x^2 = 4$
$\Leftrightarrow x = 2\quad (Do\ \ x >0)$
$\Rightarrow \begin{cases}HB = 2\\HC = 6\end{cases}$
$\Rightarrow BC = HB + HC = 2 + 6 =8$
Câu 2:
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad AH^2 = HB.HC$
$\Rightarrow AH = \sqrt{HB.HC} = \sqrt{4.9} = 6$
Câu 3:
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow BC = \dfrac{AB^2}{BH} = \dfrac{4^2}{2} = 8$
Câu 4:
Từ $H$ kẻ $HK\perp CD$
$\Rightarrow HK//AI$
mà $AH = HD = \dfrac12AD$
nên $HK = \dfrac12AI$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle HDC$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{HD^2} + \dfrac{1}{HC^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left( \dfrac12AI\right)^2} = \dfrac{1}{\left( \dfrac12AD\right)^2} + \dfrac{1}{HC^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{AI^2} = \dfrac{4}{AD^2} + \dfrac{1}{HC^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AI^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{4HC^2}$
