`a)` Xét $∆A C' C$ và $∆A B' B$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{A C' C}=\hat{A B' B}=90°`
`=>∆A C' C∽∆A B' B` (g-g)
`=>{A C}/{AB}={A C'}/{A B'}`
`=>{AB}/{AB'}={AC}/{A C'}`
$\\$
Xét $∆ABC$ và $∆A B' C'$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AB}/{AB'}={AC}/{A C'}`
`=>∆ABC∽∆A B' C'` (c-g-c) (đpcm)
$\\$
`b)` Xét $∆AB B'$ vuông tại $B'$
`=>cosA={A B'}/{AB}`
`=>AB'=AB.cosA`
$\\$
Xét $∆BC C'$ vuông tại $C'$
`=>cosB={B C'}/{BC}`
`=>B C'=BC. cos B`
$\\$
Xét $∆AC A'$ vuông tại $A'$
`=>cosC={C A'}/{CA}`
`=>C A'=CA.cos C`
$\\$
`=>AB' . B C' . C A'=AB cosA .BC cos B. CA cosC`
`=AB.BC.CA.cos A .cosB . cosC`
Vậy:
` AB' . B C' . C A'=AB.BC.CA.cos A .cosB . cosC` (đpcm)
$\\$
`c)` `\hat{A}=30°; AB=4cm;AC=8cm`
Xét $∆AB B'$ vuông tại $B'$
`=>sinA=sin30°={B B'}/{AB}`
`=>B B'=AB.sin30°=4. 1/2=2cm`
$\\$
`S_{∆ABC}=1/ 2 B B' . AC=1/ 2 . 2 . 8=8cm^2`
Vậy `S_{∆ABC}=8cm^2`
