Đáp án:
a) GT: ABCD là hình bình hành; AB = 2AD
E,F là trung điểm của AB, CD
AF ∩ DE = {M}; BF ∩ CE = {N}
KL:
b) AEFD là hình gì?
c) EMFN là hình chữ nhật
d) EMFN là hình vuông khi ABCD có thêm điều kiện gì?
b)
Ta có: ABCD là hình bình hành nên AB // CD; AD // BC
AB =CD; AD = BC
Lại có E, F là trung điểm của AB; CD
=> AE = BE = DF = CF = 1/2 AB
Mà AB = 2AD
=> AE = BE = DF = CF = AD = BC
Xét tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF
=> ADFE là hình bình hành
Lại có AE =AD
=> ADFE là hình thoi.
c) Tứ giác DEBF có: BE // DF, BE = DF
=> DEBF là hình bình hành
=> DE = BF và DE // BF
Tương tự ý a ta cm được BEFC là hình thoi
Do 2 đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
=> M là trung điểm của DE và DE ⊥ AF
và N là trung điểm của BF, BF ⊥ CE
=> EM = 1/2 DE; FN = 1/2 BF
=> EM = FN; EM // FN
=> EMFN là hình bình hành
Lại có góc EMF = 90 độ
=> EMFN là hình chữ nhật
d)
Để hình chữ nhật EMFN là hình chữ nhật thì EM= EN
Mà EM =1/2 DE; EN =1/2 EC
=> DE = EC
=> tam giác DEC cân tại E
Mà trong tam giác DEC có EF là đường trung tuyến
=> EF đồng thời là đường cao
=> EF ⊥ DC
Mà EF// AD
=> AD ⊥ DC
=> ABCD là hình chữ nhật
Vậy ABCD là hình chữ nhật thì EMFN là hình vuông.
