Đáp án:
\[1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \( - 1 \le x \le 3\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2\sqrt { - {x^2} + 2x + m} \\
\Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} + 3 - x = 4\left( { - {x^2} + 2x + m} \right)\\
\Leftrightarrow 4 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} = 4\left( { - {x^2} + 2x + m} \right)\\
\Leftrightarrow 2 + \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = 2.\left( { - {x^2} + 2x + m} \right)\\
\Leftrightarrow 2.\left( { - {x^2} + 2x + m} \right) - \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} - 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2.\left( { - {x^2} + 2x + 3} \right) - \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} + \left( {2m - 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
t = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\\
- {x^2} + 2x + 3 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4 = 4 - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 4\\
\Rightarrow t = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} - t + 2m - 8 = 0\\
\Leftrightarrow - 2m = 2{t^2} - t - 8\\
2{t^2} - t - 8 = 2.\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t + \frac{1}{{16}}} \right) - \frac{{65}}{8} = 2.{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{{65}}{8} \ge - \frac{{65}}{8}\\
2{t^2} - t - 8 = t\left( {2t - 1} \right) - 8 \le 2.\left( {2.2 - 1} \right) - 8 = 2.3 - 8 = - 2\\
\Rightarrow - \frac{{65}}{8} \le - 2m \le - 2\\
\Leftrightarrow 1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}
\end{array}\)
Vậy \(1 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
