1/ $x+2y=5\\↔x=5-2y$
Thay $x=5-2y$ vào biểu thức $x^2+y^2$
$(5-2y)^2+y^2\\=25-20y+4y^2+y^2\\=5y^2-20y+25\\=5(y^2-4y+5)\\=5(y^2-4y+4+1)\\=5(y-2)^2+5$
Nhận thấy: $(y-2)^2\ge 0$
$→5(y-2)^2\ge 0\\→5(y-2)^2+5\ge 5$
$→$ Dấu "=" xảy ra khi $y-2=0$
$↔y=2\\→x=1$
Vậy BĐT được chứng minh và dấu "=" xảy ra khi $x=1,y=2$
2/ $3x-4y=10\\↔3x=10-4y\\↔x=\dfrac{10-4y}{3}$
Thay $x=\dfrac{10-4y}{3}$ vào biểu thức $A=x^2+y^2$
$\left(\dfrac{10-4y}{3}\right)^2+y^2\\=\dfrac{100-80y+16y^2}{9}+y^2\\→A=\dfrac{100-80y+16y^2}{9}+y^2\\↔9A=100-80y+16y^2+9y^2\\=25y^2-80y+100\\=(5y)^2-2.5y.8+64+36\\=(5y-8)^2+36$
Nhận thấy: $(5y-8)^2\ge 0$
$→(5y-8)^2+36\ge 36\\→9A\ge 36\\↔A\ge 4\\→\min A=4$
$→$ Dấu "=" xảy ra khi $5y-8=0$
$↔5y=8\\↔y=\dfrac{8}{5}\\→x=\dfrac{6}{5}$
Vậy $\min A=4$ khi $x=\dfrac{6}{5},y=\dfrac{8}{5}$
