$1)$ $a)$ Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky
$ (a^2+b^2).(1+1) \ge (a+b)^2 > 2^2 = 4$
$\to 2(a^2+ b^2) \ge 4$
$ \to a^2+b^2 \ge 2$
$b)$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng Engel
$ a^4+ b^4 = \dfrac{a^4}{1} + \dfrac{b^4}{1} \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{1+1} = \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}$
Ta có $a^2+b^2 > 2 \to (a^2+b^2)^2 > 4$
$\to a^4 +b^4 > \dfrac{4}{2} = 2$
$2)$
$ x^2+y^2 +z^2 \ge xy +yz +zx$
$\to 2x^2 +2y^2+2z^2 -2xy -2yz - 2zx = 0$
$\to (x^2-2xy+y^2) + (y^2 -2yz +z^2) + (z^2- 2xz +x^2) = 0$
$\to (x-y)^2 + (y-z)^2 +(x-z)^2 \ge 0$ (đpcm)
$3)$
Ta có BĐT phụ $ ab + bc +ac \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
Thật vậy, BĐT tương đương : $ (a+b+c)^2 \ge 3(ab+ac+bc)$
$\to a^2 + b^2 +c^2 +2ab + 2bc +2ac \ge 3ab + 3ac +3bc$
$\to a^2 +b^2 +c^2 - ab - bc -ac \ge 0$ ( BĐT đúng, chứng minh ở bài 2 )
Áp dụng, ta có
$ ab + bc +ac \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3} = \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} $ (đpcm)
