1.
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABC$ có:
$\dfrac1{AH^2}=\dfrac1{AB^2}+\dfrac1{AC^2}$
$\Rightarrow\dfrac1{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}-\dfrac1{AB^2}=1-\dfrac14=\dfrac34$
$\Rightarrow AC^2=\dfrac43$
Áp dụng định lý pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ có:
$BC^2=AB^2+AC^2=4+\dfrac43=\dfrac{16}3$
$\Rightarrow BC=\dfrac4{\sqrt3}$
2.
Gọi $I=AM\cap BN\Rightarrow I$ là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow BI=\dfrac23.BN$
Và giả thiết cho $AM, BN$ vuông góc với nhau nên $AI\bot BN$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABN$ đường cao $AI\bot BN, AB=a$ ta có:
$AB^2=BI.BN=\dfrac23.BN.BN$
$\Leftrightarrow a^2=\dfrac23.BN^2$
$\Leftrightarrow BN=\dfrac{a\sqrt3}{\sqrt2}$.